Question

10．已知，命题p：?x∈R，x²+ax+2≥0，命题q：?x∈[-3，-$\frac{1}{2}$]，x²-ax+1=0．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；
（3）若命题“p∨q”为真命题，且命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质求出a的范围即可；
（2）问题掌握求$f（x）=x+\frac{1}{x}$在区间上的单调性、最值问题，求出即可；
（3）分别求出“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题时的a的范围，取交集即可．

解答 解：（1）若命题p：：?x∈R，x²+ax+2≥0，为真命题，
则方程x²+ax+2=0的判别式△=a²-8≤0，…（2分）
所以实数a的取值范围为$[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$； …（4分）
（2）若命题q为真命题，x²-ax+1=0，
因为$x∈[-3，-\frac{1}{2}]$，所以x≠0，所以$a=x+\frac{1}{x}$…（6分）
因为$x∈[-3，-\frac{1}{2}]$，所以$x+\frac{1}{x}≤-2$，当且仅当x=-1时取等号，…（8分）
又$f（x）=x+\frac{1}{x}$在[-3，-1]上单调增，$[-1，-\frac{1}{2}]$上单调减，
$f（-3）=-\frac{10}{3}$，f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{2}$，
所以f（x）值域为[-$\frac{10}{3}$，-2]，
所以实数a的取值范围[-$\frac{10}{3}$，-2]…（10分）
（3）命题“p∨q”为真命题，则
a∈[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]∪[-$\frac{10}{3}$，-2]=[-$\frac{10}{3}$，2$\sqrt{2}$]；…（12分）
命题“p∧q”为真命题，
则$a∈[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]∩[-\frac{10}{3}，-2]=[-2\sqrt{2}，-2]$，…（14分）
所以命题B-FC₁-C为假命题，则$a∈（-∞，-2\sqrt{2}）∪（-2，+∞）$，
所以若命题$\frac{AF}{{F{A_1}}}$为真命题，命题B-FC₁-C为假命题，
则$a∈（（-∞，-2\sqrt{2}）∪（-2，+∞））∩[-\frac{10}{3}，2\sqrt{2}]$=$[-\frac{10}{3}，-2\sqrt{2}）∪（-2，2\sqrt{2}]$
所以实数a的取值范围$[-\frac{10}{3}，-2\sqrt{2}）∪（-2，2\sqrt{2}]$…（16分）．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．