Question

已知二次函数f（x）=x²-2x+a，a∈R
（1）求不等式f（x）≥f（a）的解；
（2）若af（x）-a²+3＞0对一切x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）f（x）≥f（a）可化为（x-a）[x-（2-a）]≥0，按照两根2-a与a的大小关系分三种情况讨论即可；
（2）af（x）-a²+3＞0即为ax²-2ax+3＞0恒成立，a=0时易求解；a≠0时借助二次函数图象可得

a＞0 △=4a2-12a＜0

，解出即可；

解答： 解：（1）f（x）≥f（a）即x²-2x+a≥a²-2a+a，亦即（x-a）[x-（2-a）]≥0，
①当2-a=a，即a=1时，不等式为（x-1）²≥0，解集为R；
②当2-a＞a，即a＜1时，不等式的解为{x|x≤a或x≥2-a}；
③当2-a＜a，即a＞1时，不等式的解为{x|x≤2-a或x≥a}；
综上所述，当a=1时，不等式的解集为R；当a＜1时，不等式的解集为{x|x≤a或x≥2-a}；当a＞1时，不等式的解集为{x|x≤2-a或x≥a}；
（2）af（x）-a²+3＞0即为ax²-2ax+3＞0恒成立，
当a=0时，不等式为3＞0恒成立；
当a≠0时，有

a＞0 △=4a2-12a＜0

，解得0＜a＜3；
综上，a的取值范围是0≤a＜3．

点评：本题考查二次不等式的求解、函数恒成立问题，属中档题．深刻理解“三个二次”间的关系是解题关键．