Question

已知函数g（x）=（a+1）x，h（x）=x²+lg|a+2|，f（x）=g（x）+h（x），其中a∈R且a≠-2．
（1）若f（x）为偶函数，求a的值；
（2）命题p：函数f（x）在区间[（a+1）²，+∞）上是增函数，命题q：函数g（x）是减函数，如果p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．
（3）在（2）的条件下，比较f（2）与3-lg2的大小．

Answer 1

分析：（1）根据偶函数的定义可得f（-x）=f（x）然后代入即可求出a
（2）若命题q为真命题时，则对称轴x=-

a+1

2

≤（a+1）²，解得a的取值范围；当q是真命题时函数g（x）是减函数，解得a的取值范围．再由p或q为真命题，命题p且q为假命题，由此能求出实数a的取值范围．
（3）欲比较f（2）与3-lg2的大小，利用作差比较法，只须比较它们的差与0的大小即可，结合（2）中a的取值范围即可得出答案．

解答：解：（1）由已知f（x）为偶函数得：f（-x）=f（x），
即-（a+1）x+x²+lg|a+2|=（a+1）x+x²+lg|a+2|，
化简得：（a+1）x=0，此式对任意x都成立，
∴a=-1；
（2）命题p：函数f（x）在区间[（a+1）²，+∞）上是增函数，
∴对称轴x=-

a+1

2

≤（a+1）²，
即（a+1）（2a+3）≥0，
∴a≥-1或a≤-

3

2

，
命题q：函数g（x）是减函数，
∴a+1＜0，即a＜-1．
若命题p真q为假命题时，则a≥-1；
若命题q真p为假命题时，则-

3

2

＜a＜-1；
综合得，如果p或q为真，p且q为假，则有a＞-

3

2

．
（3）f（2）=4+2（a+1）+lg|a+2|=6+2a+lg|a+2|
∴f（2）-（3-lg2）=6+2a+lg|a+2|-3+lg2=3+2a+lg|a+2|+lg2，
∵a＞-

3

2

，
∴2a+3＞0，lg|a+2|＞lg

1

2

=-lg2，
∴f（2）-（3-lg2）＞0．
∴f（2）＞3-lg2．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．