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已知函数g(x)=asinx+bcosx+c
(1)当b=0时,求g(x)的值域;
(2)当a=1,c=0时,函数g(x)的图象关于x=
3
对称,求函数y=bsinx+acosx的对称轴.
(3)若g(x)图象上有一个最低点(
11π
6
,1)
,如果图象上每点纵坐标不变,横坐标缩短到原来的
3
π
倍,然后向左平移1个单位可得y=f(x)的图象,又知f(x)=3的所有正根从小到大依次为x1,x2,x3,…,xn,…,且xn-xn-1=3(n≥2),求f(x)的解析式.
分析:(1)当b=0时,函数g(x)=asinx+c,分a=0和a≠0两种情况,分别求出函数g(x)的值域.
(2)当a=1,c=0时,由 g(x)=sinx+bcosx,且图象关于x=
3
对称,求出b的值,可得函数 y=
2
3
3
cos(x+
π
6
),由 x+
π
6
=kπ,k∈z,求出x的解析式,即可得到函数的对称轴方程.
(3)由g(x)图象上有一个最低点 (
11π
6
,1),求得g(x)=(c-1)sin(x-
π
3
)+c.再由函数图象的变换规律求得f(x)=(c-1)sin
π
3
x+c.由题意可得,直线y=3要么过f(x)的最高点或最低点,或过f(x)的对称中心.分别求出c的值,再检验得出结论.
解答:解:(1)当b=0时,函数g(x)=asinx+c.
当a=0时,值域为:{c}.
当a≠0时,值域为:[c-|a|,c+|a|].
(2)当a=1,c=0时,
∵g(x)=sinx+bcosx 且图象关于x=
3
对称,
∴|
3
2
-
1
2
b
|=
b2+1
,∴b=-
3
3

∴函数 y=bsinx+acosx 即:y=-
3
3
sinx+cosx=
2
3
3
 cos(x+
π
6
).
 由 x+
π
6
=kπ,k∈z,可得函数的对称轴为:x=kπ-
π
6
,k∈z.
(3)由g(x)=asinx+bcosx+c=
a2+2
 sin(x+∅)+c,其中,sin∅=
b
a2+2
,cos∅=
a
a2+2

由g(x)图象上有一个最低点 (
11π
6
,1),所以
11π
6
+∅=2kπ-
π
2
-
a2+2
+c=1

∅=2kπ-
3
 , k∈z
a2+2
= c-1

∴g(x)=(c-1)sin(x-
π
3
)+c.
又图象上每点纵坐标不变,横坐标缩短到原来的
3
π
倍,然后向左平移1个单位可得y=f(x)的图象,则f(x)=(c-1)sin
π
3
x+c.
又∵f(x)=3的所有正根从小到大依次为 x1、x2、x3…xn、…,且 xn-xn-1=3 (n≥2 ),
所以y=f(x)与直线y=3的相邻交点间的距离相等,根据三角函数的图象与性质,直线y=3要么过f(x)的最高点或最低点,要么是y=
2c-1+1
2

即:2c-1=3或 1-c+c=3(矛盾)或
2c-1+1
2
=3,解得c=2 或 c=3.
当c=2时,函数的  f(x)=sin
π
3
x
+2,T=6.
直线 y=3和 f(x)=sin
π
3
x
+2相交,且  xn-xn-1=3 (n≥2 ),周期为3(矛盾).
当c=3时,函数  f(x)=2sin
π
3
x
+3,T=6.
直线直线 y=3和 f(x)=2sin
π
3
x
+3相交,且 xn-xn-1=3 (n≥2 ),周期为6(满足条件).
综上:f(x)=2sin
π
3
x
+2.
点评:本题主要考查两角和差的正弦公式的应用,正弦函数的对称性,y=Asin(ωx+∅)的图象变换规律,属于中档题.
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3
2
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1
4
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