Question

在数列{a_n}与{b_n}中，a₁=1，b₁=4，数列{a_n}的前n项和S_n满足nS_n+1-（n+3）S_n=0，2a_n+1为b_n与b_n+1的等比中项，n∈N*，
（Ⅰ）求a₂，b₂的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；

Answer 1

解：（1）由题设有，a₁=1，解得，
由题设又有，b₁=4，解得；
（2）由题设，2a_n+1为b_n与b_n+1的等比中项，a₁=1，b₁=4，及，，
进一步可得，
猜想，，n∈N*，
先证，n∈N*，
当n=1时，，等式成立；
当n≥2时用数学归纳法证明如下：
（1）当n=2时，，等式成立；
（2）假设n=k时等式成立，即，k≥2，
由题设，，　　① 　　
，②
①的两边分别减去②的两边，整理得，
从而．
这就是说，当n=k+1时等式也成立．
根据（1）和（2）可知，等式对任何的n≥2成立．
综上所述，等式对任何的n∈N*都成立；
再用数学归纳法证明，n∈N*。
（1）当n=1时，=4，等式成立；
（2）假设当n=k时等式成立，
即，那么，
这就是说，当n=k+1时等式也成立．
根据（1）和（2）可知，等式对任何的n∈N*都成立。