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如图,在边长为1的菱形ABCD中,将正三角形BCD沿BD向上折起,折起后的点C记为C′,且CC′=a(0<a<
3
).
(1)若a=
3
2
,求二面角C-BD-C′的大小;
(2)当a变化时,线段CC′上是否总存在一点E,使得AC′∥平面BED?请说明理由.
分析:(1)连接AC,交BD于点O,连接OC',菱形ABCD中,CO⊥BD,得到∠C'OC为二面角C-BD-C'的平面角,由此能求出二面角C-BD-C'的大小.
(2)当a变化时,线段CC'的中点E总满足AC'∥平面BED.因为E,O分别为线段CC',AC的中点,所以OE∥AC',所以AC'∥平面BED.
解答:解:(1)连接AC,交BD于点O,连接OC',
菱形ABCD中,CO⊥BD,
因三角形BCD沿BD折起,所以C'O⊥BD,
故∠C'OC为二面角C-BD-C'的平面角,
易得C′O=CO=
3
2
,而CC′=
3
2

所以∠C′OC=
π
3
,二面角C-BD-C'的大小为
π
3

(2)当a变化时,线段CC'的中点E总满足AC'∥平面BED,
下证之:
因为E,O分别为线段CC',AC的中点,所以OE∥AC',
又AC'?平面BED,OE?平面BED,所以AC'∥平面BED.
点评:本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象、推理论证能力.
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A、
AB
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C、
AB
AE
D、
AB
AF

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(1)若,求二面角C-BD-C′的大小;
(2)当a变化时,线段CC′上是否总存在一点E,使得AC′∥平面BED?请说明理由.

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