Question

（2012•鹰潭模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．

（1）求证：BD⊥平面POA；
（2）当PB取得最小值时，求四棱锥P-BDEF的体积．

Answer 1

分析：（1）由菱形ABCD的对角线互相垂直，知BD⊥AC，BD⊥AO，由EF⊥AC，知PO⊥EF．由此能够证明BD⊥平面POA．
（2）设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，故BD=4，HB=2，  HC=2

3

．由此入手能够求出当PB取得最小值时四棱锥P-BDEF的体积．

解答：解：（1）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，
∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD．
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）
（2）设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，
所以△BDC为等边三角形，
故BD=4，HB=2，  HC=2

3

．
又设PO=x，则OH=2

3

-x，OA=4

3

-x．
由OH⊥BD，则|OB|2=(2

3

-x)2+22，
又由（1）知，PO⊥平面BFED，则PO⊥OB
所以|PB|=

(2 3 -x)2+22+x2

=

2(x- 3 )2+10

，
当x=

3

时，|PB|min=

10

．
此时PO=

3

，…（8分）
所以V四棱锥P-BFED=

1

3

•S梯形BFED•PO=

1

3

•(

3

4

×42-

3

4

×22)×

3

=3．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查四锥锥体积的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．