Question

（2012•鹰潭模拟）已知函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时，xf′（x）＜f（-x）成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=

3

f(

3

)，b=(lg3)f(lg3)，  c=(log2

1

4

)f(log2

1

4

)，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．c＞a＞b

B．c＞b＞a

C．a＞b＞c

D．a＞c＞b

Answer 1

分析：设F（x）=xf（x），根据题意得F（x）是偶函数且在区间（0，+∞）上是增函数，由此比较

3

、lg3和2的大小，结合函数的性质，不难得到本题的答案．

解答：解：设F（x）=xf（x），得F'（x）=x'f（x）+xf'（x）=xf'（x）+f（x），
∵当x∈（-∞，0）时，xf′（x）＜f（-x），且f（-x）=-f（x）
∴当x∈（-∞，0）时，xf′（x）+f（x）＜0，即F'（x）＜0
由此可得F（x）=xf（x）在区间（-∞，0）上是减函数，
∵函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，
∴F（x）=xf（x）是定义在实数集R上的偶函数，在区间（0，+∞）上F（x）=xf（x）是增函数．
∵0＜lg3＜lg10=1，

3

∈（1，2）
∴F（2）＞F（

3

）＞F（lg3）
∵log

1

2

4=-2，从而F（log

1

2

4）=F（-2）=F（2）
∴F（log

1

2

4）＞F（

3

）＞F（lg3）
即(log2

1

4

)f(log2

1

4

)＞

3

f(

3

)＞（lg3）f（lg3），得c＞a＞b
故答案为：A

点评：本题给出抽象函数，比较几个函数值的大小．着重考查了利用导数研究函数的单调性、不等式比较大小和函数单调性与奇偶性关系等知识，属于中档题．