Question

已知向量

a

=(sinx，-1)，

b

=(

3

cosx，-

1

2

)，函数f(x)=(

a

+

b

)•

a

-2．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移

π

6

上个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的解析式及其对称中心坐标．

Answer 1

分析：（I）根据向量数量积的坐标运算公式，得

a

2=sin²x+1，

a

•

b

=

3

sinxcosx+

1

2

，代入函数表达式，结合二倍角三角函数公式化简整理，得f（x）=sin(2x-

π

6

)，由三角函数周期公式可得最小正周期T；
（II）由三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的公式，可得g(x)=sin(

2

3

x+

π

6

)，最后结合三角函数图象对称中心的公式，可得函数图象的对称中心．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

=(sinx，-1)，

b

=(

3

cosx，-

1

2

)
∴

a

2=sin²x+1，

a

•

b

=

3

sinxcosx+

1

2

∴f(x)=(

a

+

b

)•

a

-2=

a2

+

a

•

b

-2
=sin2x+1+

3

sinxcosx+

1

2

-2…（2分）
=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)…（4分）
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π…（6分）
（Ⅱ）向左平移

π

6

个单位，得y=sin[2(x+

π

6

)-

π

6

]=sin(2x+

π

6

)…（8分）
横坐标伸长为原来的3倍，得g(x)=sin(

2

3

x+

π

6

)…（10分）
令

2

3

x+

π

6

=kπ，得x=

3kπ

2

-

π

4

，其中k∈Z
∴函数g（x）图象对称中心坐标坐标为：(

3

2

kπ-

π

4

，0)，其中k∈Z…（12分）

点评：本题以向量数量积运算为载体，考查了三角函数的图象与性质和二倍角三角函数公式等知识，属于基础题．