Question

过抛物线y²=2px（p＞0）焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|=3|BF|，那么直线l的斜率为（　　）

• A、±

  2

• B、±1
• C、±

  3

  3

• D、±

  3

Answer 1

分析：设抛物线y²=2px（p＞0）的准线为l′：x=-

p

2

．如图所示，当直线AB的倾斜角为锐角时，分别过点A，B作AM⊥l′，BN⊥l′，垂足为M，N．过点B作BC⊥AM交于点C．则|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．由于|AF|=3|BF|=

3

4

|AB|，可得|AM|-|BN|=|AC|=|AF|-|BF|=

1

2

|AB|，在Rt△ABC中，由|AC|=

1

2

|AB|，可得∠BAC=60°．由于AM∥x轴，可得∠BAC=∠AFx=60°．即可得到kAB=tan60°=

3

．当直线AB的倾斜角为钝角时，同理可得．

解答：解：设抛物线y²=2px（p＞0）的准线为l′：x=-

p

2

．
如图所示，
①当直线AB的倾斜角为锐角时，
分别过点A，B作AM⊥l′，BN⊥l′，垂足为M，N．
过点B作BC⊥AM交于点C．
则|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．
∵|AF|=3|BF|=

3

4

|AB|，
∴|AM|-|BN|=|AC|=|AF|-|BF|=

1

2

|AB|，
在Rt△ABC中，由|AC|=

1

2

|AB|，可得∠BAC=60°．
∵AM∥x轴，∴∠BAC=∠AFx=60°．
∴kAB=tan60°=

3

．
②当直线AB的倾斜角为钝角时，可得kAB=-

3

．
综上可知：直线l的斜率为±

3

．
故选：D．

点评：本题考查了抛物线的定义及其性质、含60°角的直角三角形的性质、直线的倾斜角与斜率、平行线的性质、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．