Question

（2012•石景山区一模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）右顶点到右焦点的距离为

3

-1，短轴长为2

2

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若线段AB的长为

3 3

2

，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）右顶点到右焦点的距离为

3

-1，短轴长为2

2

，建立方程组，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，|AB|=

4

3

，不符合题意；当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y，利用韦达定理计算|AB|，结合线段AB的长为

3 3

2

，即可求得k的值，从而可得直线AB的方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意，

a-c= 3 -1 b= 2 a2=b2+c2

，解得a=

3

，c=1．
∴椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1------------（4分）
（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，|AB|=

4

3

，不符合题意故舍掉；-----------（6分）
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），
代入消去y得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-6k2

2+3k2

，x₁x₂=

3k2-6

2+3k2

-----------（8分）
所以|AB|=

4 3 (k2+1)

2+3k2

，------------（11分）
∵线段AB的长为

3 3

2

，
∴

4 3 (k2+1)

2+3k2

=

3 3

2

∴k²=2
∴k=±

2

，------------（13分）
所以直线AB的方程为：

2

x-y+

2

=0或

2

x+y+

2

=0．---------（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，联立方程，正确运用韦达定理是关键．