Question

15．已知f（x）=x²-2|x|（x∈R）．
（Ⅰ）若方程f（x）=kx有三个解，试求实数k的取值范围；
（Ⅱ）求m，n（m＜n），使函数f（x）的定义域与值域均为[m，n]．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若方程f（x）=kx有三个解，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合即可试求实数k的取值范围；
（Ⅱ）作出函数f（x）的图象，利用数形结合以及函数定义域和值域之间的关系进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）若方程f（x）=kx有三个解，
当x=0时，方程x²-2|x|=kx，成立，
即当x=0是方程的一个根，
当x≠0时，等价为方程x²-2|x|=kx有两个不同的根，
即k=x-$\frac{2|x|}{x}$，
设g（x）=x-$\frac{2|x|}{x}$，
则g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2，}&{x＞0}\\{x+2，}&{x＜0}\end{array}\right.$，
作出函数g（x）的图象如图：
则当-2＜k＜2时，k=x-$\frac{2|x|}{x}$有两个不同的交点，
即此时k=x-$\frac{2|x|}{x}$有两个非零的根，f（x）=kx有三个解，
综上-2＜k＜2．
（Ⅱ）作出函数f（x）的图象如图：
则函数f（x）的值域为[-1，+∞），
若使函数f（x）的定义域与值域均为[m，n]．
则m≥-1，
若m=-1，则f（-1）=-1，
由f（x）=-1，得x=-1或x=1，
即当m=-1，n=0时，即定义域为[-1，0]，此时函数的值域为[-1，0]，满足条件．
由n²-2|n|=n，得，
若-1＜n≤0得，n²+2n=n，
即n²+n=0，得n=0，
若0＜n≤2，则函数的值域为[-1，0]，
则由n²-2|n|=0，得n²-2n=0，得n=2，
若n＞2，
则n²-2|n|=n，得n²-2n=n，即n²-3n=0，
得n=3，
则当m=-1，n=0时，或当m=-1，n=2，或当m=-1，n=3都满足条件．

点评 本题主要考查根的个数的判断，利用函数与方程之间的关系进行转化，利用数形结合是解决本题的关键．