Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°，D、E分别为AC、AA₁的中点．点F为
棱AB上的点．
（Ⅰ）当点F为AB的中点时．
（1）求证：EF⊥AC₁；
（2）求点B₁到平面DEF的距离．
（Ⅱ）若二面角A-DF-E的大小为

π

4

，求

AF

FB

的值．

Answer 1

分析：（I）（1）由DF∥BC，BC⊥AC，知DF⊥AC，由平面ACC₁A₁⊥平面ABC，知DF⊥平面ACC₁A₁，由DF⊥AC₁，ACC₁A₁是正方形，知AC₁⊥DE，由此能够证明EF⊥AC₁．
（2）由B₁C₁∥BC，BC∥DF，知B₁C₁∥平面DEF，故点B₁到平面DEF的距离等于点C₁到平面DEF的距离，所以DF⊥平面ACC₁A₁，平面DEF⊥平面ACC₁A₁．设AC₁∩DE=O，则C₁O就是点C₁到平面DEF的距离，由此能求出点B₁到平面DEF的距离．
（Ⅱ）当点F为AB的中点，即

AF

FB

=1时，DF∥BC，故DF⊥AC，由AA1⊥面ABC，知ED⊥DF，故∠EDA即为二面角A-DF-E的平面角，由AE=AD，因此∠EDA=

π

4

．故二面角A-DF-E的大小为

π

4

时，

AF

FB

=1．

解答：解：（I）（1）∵DF∥BC，BC⊥AC，
∴DF⊥AC，
∵平面ACC₁A₁⊥平面ABC，
∴DF⊥平面ACC₁A₁，
∴DF⊥AC₁，
∵ACC₁A₁是正方形，
∴AC₁⊥DE，
∴AC₁⊥面DEF，
∴AC₁⊥EF，即EF⊥AC₁．
（2）∵B₁C₁∥BC，BC∥DF，
∴B₁C₁∥平面DEF，
∴点在B₁到平面DEF的距离等于点C₁到平面DEF的距离，
∴DF⊥平面ACC₁A₁，
∴平面DEF⊥平面ACC₁A₁，
∵AC₁⊥DE，
∴AC₁⊥平面DEF，
设AC₁∩DE=O，
则C₁O就是点C₁到平面DEF的距离．
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，
∴AA₁C₁C是边长为2的正方形，
∴AC1=

22+22

=2

2

，
连接A₁C，交AC₁于O₁，
则AO₁=C₁O₁=

2

，
∵D是AC的中点，
∴OO1=

2

2

，
∴C₁O=

3

2

2

．
（Ⅱ）当点F为AB的中点即

AF

FB

=1时，DF∥BC，∴DF⊥AC，
∵AA1⊥面ABC，
∴ED⊥DF，∠EDA即为二面角A-DF-E的平面角，
由AE=AD，因此∠EDA=

π

4

．
故二面角A-DF-E的大小为

π

4

时，

AF

FB

=1．

点评：本题考查点线面间的距离的计算，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．