Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求的最大值；

（2）若函数有两个零点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用导数判别函数的单调性求函数的最值可解决此问题；（2）利用导数判断函数的单调性可解决此问题．

（1）当k=-1时，，=-exx-x=-x（ex+1）

当x＜0时，＞0，当x＞0时，＜0，所以f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，所以f（x）在x=0时取到最大值，最大值为f（0）=1．

（2）=kexx-x=x（kex-1），

当k＜0时，f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，又因为f（0）=-k＞0，，，所以f（x）有两个零点；

当k=0时，，所以此时f（x）只有一个零点；

当k=1时，=exx-x=x（ex-1）≥0，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，f（x）不存在两个零点；

当0＜k＜1时，，f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，-lnk）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，且f（0）=-k＜0，f（x）不存在两个零点；

当k＞1时，，f（x）在（-∞，-lnk）上单调递增，在（-lnk，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，且，f（x）不存在两个零点．

综上，当f（x）有两个零点时，k的取值范围是（-∞，0）．