Question

已知(

x

-

2

x2

)n(n∈N*)的展开式中第五项系数与第三项的系数的比是10，
（1）求n的值；
（2）求展开式中含x

3

2

的项；
（3）求有理项共有多少项．

Answer 1

分析：（1）已知(

x

-

2

x2

)n(n∈N*)的展开式中第五项系数与第三项的系数的比是10，由此关系建立起方程，求出n；
（2）由（1），n=8，利用展开式中项的公式T_r+1=C_n^r（

x

）^n-r（-

2

x2

）^r=(-2)r

C

r 8

x

8-5r

2

，令x的指数为

3

2

解出r，即得项；
（3）对展开式中的指数进行研究，得出可使指数为整数的r的值．

解答：解：（1）由题意得：

24 C 4 n

22 C 2 n

=10，∴n²-5n-24=0，解得n=8．（4分）
（2）T_r+1=(-2)r

C

r 8

x

8-5r

2

，令

8-5r

2

=

3

2

，得r=1，
∴T₂=-16x

3

2

..（3分）
（3）令4-

5r

2

∈Z(r=0，1，，8)则r=0或r=2或r=4或r=6或r=8
所以有理项共5项．（10分）．

点评：本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项展开式，且能由题意将题设条件中的关系转化为关于参数的方程，本题考查转化化归的能力及运算能力．