Question

已知x=1是函数f（x）=（x²+ax+b）ex（a≠-4）的一个极值点（e是自然对数底数）．
（I）当a＞-4时，求函数f（x）的单调区间（用a表示）；
（II）若函数f（x）在x∈[0，1]上没有零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）据极值点处的导函数值为0得到a，b的关系，代入导函数中求出导函数的两根，利用a＞-4，结合导函数的符号，即可得到函数的单调区间．
（Ⅱ）分类讨论，结合函数的单调性，利用函数零点存在定理，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+b）e^x=[x²+（2+a）x+（a+b）]e^x，
∵x=1是函数f（x）的一个极值点，∴f'（1）=0，
即e[1+（2+a）+（a+b）]=0，解得b=-3-2a，
则f′（x）=e^x[x²+（2+a）x+（-3-a）]=e^x（x-1）[x+（3+a）]
令f′（x）=0，得x₁=1或x₂=-3-a，
当a＞-4即-3-a＜1时，由f′（x）＞0得x∈（1，+∞）或x∈（-∞，-3-a）；由f′（x）＜0得x∈（-3-a，1），
∴当a＞-4时，函数f（x）单调递增区间为（-∞，-3-a）和（1，+∞），单调递减区间为（-3-a，1）；
（II）当-3-a≥0，即a≤-3时，f（0）=-（2a+3）≥3＞0，f（1）=-（a+2）e≥e＞0
∵f（x）在[0，-a-3）递增，在（-a-3，1）递减
∴函数f（x）在x∈[0，1]上没有零点，
当-3-a＜0，即a＞-3时，∵f（x）在[0，1]上单调递减
∴若函数f（x）在x∈[0，1]上没有零点，则

f(0)=-(2a+3)≥0 f(1)=-(a+2)e≥0

或

f(0)=-(2a+3)≤0 f(1)=-(a+2)e≤0

∴a的取值范围是-3＜a≤-2或a≥-

3

2

．
综上，a的取值范围是a≤-2或a≥-

3

2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查学生的计算能力，属于中档题．