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已知函数f(x)=
-x2+2x,x>0
0,x=0
x2+mx,x<0
是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
分析:(1)根据函数f(x)为奇函数,设x<0得到f(-x)=-f(x),进而的f(x)的解析式,求得m的值.
(2)根据(1)中的解析式,可画出f(x)的图象,根据图象可知要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,则需a-2>-1且a-2≤1,进而求得a的范围.
解答:解:(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,
又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象知
a-2>-1
a-2≤1

所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].
点评:本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用.属基础题.
练习册系列答案
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已知函数f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
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(2)若函数y=f(2x+
π
4
)
的图象关于直线x=
π
6
对称,求φ的值.

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已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,时f(x)的表达式;
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(1)求f(x)的单调递增区间;(文科可参考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,记函数g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在区间(1,3)上总不单调,求实数m的范围.

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已知函数f(x)=x2-bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线3x-y+2=0平行,若数列{
1
f(n)
}
的前n项和为Sn,则S2010的值为(  )
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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已知函数f(x)是定义在区间(-1,1)上的奇函数,且对于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,则实数a的取值范围是
 

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