Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为2，E是棱A₁B₁的中点．
（1）求异面直线A₁B₁与BD的距离；
（2）求直线EC₁与BD所成角的大小．

Answer 1

解：（1）∵B₁B⊥AB，B₁B⊥BC，
∴B₁B⊥平面ABCD
∴B₁B⊥BD
又B₁B⊥A₁B₁，
∴线段B₁B的长即为所求．
∵B₁B=2，
∴异面直线A₁B₁与BD的距离为2．
（2）取A₁D₁中点H
∴EH∥B₁D₁
∴EH∥BD
∴EC₁与BD所成角为∠HEC₁（或其补角）
设正方体棱长为2，则HE=，EC₁=，HC₁=
∴cos∠HEC₁===＞0
∴EC₁与BD所成角为arccos
分析：（1）根据条件可得BB₁⊥面ABCD，BB₁⊥面A₁B₁C₁D₁故可得B₁B⊥BD且B₁B⊥A₁B₁，则根据异面直线间的距离的定义可知线段B₁B的长即为所求．
（2）根据异面直线所成的角的定义可知需将异面直线转化为相交直线故可取A₁D₁中点H连接EH，HC₁则可得EC₁与BD所成角为∠HEC₁（或其补角）然后在三角形EHC₁中利用余弦定理即可求解．
点评：本题主要考察了异面直线间的距离和异面直线所成的角．解题的关键是要充分理解异面直线间的距离和异面直线所成的角的定义，同时再利用余弦定理求角时要根据角的余弦值的正负决定异面直线所成的角是这个角还是其补角！