Question

设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）．

（I）求椭圆的方程；

（II）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（I）椭圆的方程为；

（II）当时，，故

【解析】

试题分析：（I）由题设知，，， 由，

得．解得．所以椭圆的方程为

（II）方法1：设点，因为的中点坐标为，

所以所以

．

因为点在圆上，所以，即．

因为点在椭圆上，所以，即．

故．

因为，所以当时，

法2：由题知圆N: 的圆心为N；则

从而求的最大值转化为求的最大值；

因为点在椭圆上，设点所以，即．

又因为,所以；

因为，所以当时，，故

方法3：①若直线的斜率存在，设的方程为，

由，解得．因为是椭圆上的任一点，设点，

所以，即．所以

故．

因为，所以当时，，故

②若直线EF的斜率不存在，此时EF的方程为； 由，解得或. 

不妨设E(0，3),F(0，1)； 因为点在椭圆上，设点所以，即

所以，故

因为，所以当时，，故

考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算。

点评：难题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，注意明确焦点轴和a,b,c的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（2）注意讨论直线的斜率存在、不存在两种情况，易于忽视。熟练进行平面向量的坐标运算，是正确解题的关键。