Question

如图，P是椭圆

x2

25

+

y2

16

=1(xy≠0)上的动点，F₁、F₂是椭圆的焦点，M是∠F₁PF₂的平分线上一点，且

F2M

•

MP

=0．则|OM|的取值范围

（0，3）

．

Answer 1

分析：延长F₂M交PF₁于点N，由题意可知△PNF₂为等腰三角形，得OM是△PF₁F₂的中位线．利用三角形中位线定理和椭圆的定义，算出|OM|=a-|PF₂|，再由椭圆的焦半径|PF₂|的取值范围加以计算，即可得到|OM|的取值范围．

解答：解：∵

F2M

•

MP

=0，∴

F2M

⊥

MP

延长F₂M交PF₁于点N，可知△PNF₂为等腰三角形，
且M为F₂M的中点，可得OM是△PF₁F₂的中位线
∴|OM|=

1

2

|NF₁|=

1

2

（|PF₁|-|PN|）
=

1

2

（|PF₁|-|PF₂|）=

1

2

（2a-2|PF₂|）=a-|PF₂|
∵a-c＜|PF₂|＜a+c
∴0＜|OM|＜c=

a2-b2

=3
∴|OM|的取值范围是（0，3）
故答案为：（0，3）

点评：本题给出椭圆焦点三角形角平分线的垂线，求垂足到椭圆中心距离的范围．着重考查了椭圆的定义与简单几何性质、等腰三角形的判定与性质和三角形中位线定理等知识，属于中档题．