Question

已知f（x）=ax³+3x²-x+1，a∈R．
（Ⅰ）当a=-3时，求证：f（x）=在R上是减函数；
（Ⅱ）如果对?x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=-3代入函数解析式中确定出f（x）的解析式，求出f（x）的导函数，配方可知导函数恒小于等于0，进而得到f（x）在R上为减函数；
（Ⅱ）求出f（x）的导函数，把求出的导函数代入到已知的不等式中，移项使不等式的右边为0，左边为一个二次函数，讨论a≥0时，不等式显然不恒成立；a＜0时，不等式要恒成立，根的判别式△≤0列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=-3时，f（x）=-3x³+3x²-x+1，
∵f′（x）=-9x²+6x-1=-（3x-1）²≤0，
∴f（x）在R上是减函数；
（Ⅱ）∵?x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，
即?x∈R不等式3ax²+6x-1≤4x恒成立，
∴?x∈R不等式3ax²+2x-1≤0恒成立，
当a≥0时，?x∈R，3ax²+2x-1≤0不恒成立，
当a＜0时，?x∈R不等式3ax²+2x-1≤0恒成立，
即△=4+12a≤0，
∴a≤-

1

3

．

点评：函数的增减性由导函数的正负来决定，即导函数大于0，函数为增函数；导函数小于0，函数为减函数．本题不等式恒成立时满足的条件是：二次函数y=3ax²+2x-1的图象开口向下且跟的判别式小于等于0．