Question

已知（x+1）ⁿ=a+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a及S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n；
（2）试比较S_n与（n-2）2ⁿ+2n²的大小，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过对x取1，2求出a及S_n
（2）先通过不完全归纳猜出两者的大小，然后用数学归纳法证明．注意三歩：第一步证基础第二步证递推关系第三歩总结．
解答：解：（1）取x=1，则a=2ⁿ；
取x=2，则a+a₁+a₂+a₃++a_n=3ⁿ，
∴S_n=a₁+a₂+a₃++a_n=3ⁿ-2ⁿ；
（2）要比较S_n与（n-2）2ⁿ+2n²的大小，
即比较：3ⁿ与（n-1）2ⁿ+2n²的大小，
当n=1时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；
当n=2，3时，3ⁿ＜（n-1）2ⁿ+2n²；
当n=4，5时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；（
猜想：当n≥4时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²，
下面用数学归纳法证明：
由上述过程可知，n=4时结论成立，
假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3^k＞（k-1）2^k+2k²，
两边同乘以3得：3^k+1＞3[（k-1）2^k+2k²]=k2^k+1+2（k+1）²+[（k-3）2^k+4k²-4k-2]
而（k-3）2^k+4k²-4k-2=（k-3）2^k+4（k²-k-2）+6=（k-3）2^k+4（k-2）（k+1）+6＞0
∴3^k+1＞（（k+1）-1）2^k+1+2（k+1）²
即n=k+1时结论也成立，
∴当n≥4时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²成立．
综上得，
当n=1时，S_n＞（n-2）2ⁿ+2n²；
当n=2，3时，S_n＜（n-2）2ⁿ+2n²；
当n≥4，n∈N^*时，S_n＞（n-2）2ⁿ+2n²
点评：本题考查赋值法是求系数和的重要方法；考查数学归纳法证明与自然数有关的命题．