Question

已知（x+1）ⁿ=a+a₁（x-1）+a₂（x-1）+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a及；
（2）试比较S_n与（n-2）2ⁿ+2n²的大小，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过x=1直接求出a，通过x=2即可求出的表达式；
（2）通过比较n=1，2，3，4，5时S_n与（n-2）2ⁿ+2n²的大小，猜想出二者的大小，利用数学归纳法假设n=k时成立，证明n=k+1时猜想也成立即可．
解答：解：（1）令x=1，则a=2ⁿ，令x=2，
则，∴S_n=3ⁿ-2ⁿ；----------------------（3分）
（2）要比较S_n与（n-2）2ⁿ+2n²的大小，即比较：3ⁿ与（n-1）2ⁿ+2n²的大小，
当n=1时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；当n=2，3时，3ⁿ＜（n-1）2ⁿ+2n²；
当n=4，5时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；-----------------------------------（5分）
猜想：当n≥4时n≥4时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²，下面用数学归纳法证明：
由上述过程可知，n=4n=4时结论成立，
假设当n=k（k≥4）n=k，（k≥4）时结论成立，即3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²，
两边同乘以3 得：3^k+1＞3[（k-1）2^k+2k²]=k2^k+1+2（k+1）²+[（k-3）2^k+4k²-4k-2]
而（k-3）2^k+4k²-4k-2=（k-3）2^k+4（k²-k-2）+6=（k-2）2^k+4（k-2）（k+1）+6＞0∴3^k+1＞[（k+1）-1]2^k+1+2（k+1）²
即n=k+1时结论也成立，
∴当n≥4时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²成立．
综上得，当n=1时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；
当n=2，3时，3ⁿ＜（n-1）2ⁿ+2n²；当n≥4，n∈N^*时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²--（10分）
点评：本题是中档题，考查与n有关的命题，通过赋值法解答固定项，前n项和，以及数学归纳法的应用，考查逻辑推理能力，计算能力，常考题型．