Question

4．已知函数f（x）=1+log₂x，g（x）=2^x．
（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；
（2）令G（x）=f（8x²）f（$\sqrt{x}$）-kf（x），已知函数G（x）在区间[1，4]有零点，求实数k的取值范围；
（3）若H（x）=$\frac{g（x）}{{g（x）+\sqrt{2}}}$，求H（$\frac{1}{2016}$）+H（$\frac{2}{2016}$）+H（$\frac{3}{2016}$）+…+H（$\frac{2015}{2016}$）的值．

Answer 1

分析 （1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），先求出F（x）的表达式，结合一元二次函数的性质求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；
（2）先求出G（x）=f（8x²）f（$\sqrt{x}$）-kf（x）的表达式，利用换元法将函数G（x）进行转化求解；
（3）若H（x）=$\frac{g（x）}{{g（x）+\sqrt{2}}}$，证明H（x）+H（1-x）=1，利用倒序相加法，即可求H（$\frac{1}{2016}$）+H（$\frac{2}{2016}$）+H（$\frac{3}{2016}$）+…+H（$\frac{2015}{2016}$）的值．

解答 解：（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x））=（1+log₂2^x）•${2}^{1+lo{g}_{2}x}$
=（1+x）•2×${2}^{lo{g}_{2}x}$=2x（1+x）=2x²+2x=2（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$
当x∈[1，4]上函数F（x）为增函数，
则函数的最大值为F（4）=40，函数的最小值为F（1）=4，则函数的值域为[4，40]．
（2）令G（x）=f（8x²）f（$\sqrt{x}$）-kf（x）=（1+log₂8x²）（1+log₂$\sqrt{x}$）-k（1+log₂x）
=（1+og₂8+log₂x²））（1+$\frac{1}{2}$log₂x）-k（1+log₂x）
=（4+2log₂x））（1+$\frac{1}{2}$log₂x）-k（1+log₂x）
=（log₂x）²+4log₂x+4-k-klog₂x=（log₂x）²+（4-k）log₂x+4-k，
设t=log₂x，当x∈[1，4]，则t∈[0，2]，
则函数等价为y=h（t）=t²+（4-k）t+4-k
若函数G（x）在区间[1，4]有零点，
则等价为y=h（t）=t²+（4-k）t+4-k在t∈[0，2]上有零点，
即h（t）=t²+（4-k）t+4-k=0在t∈[0，2]上有解，
即t²+4t+4-k（1+t）=0在t∈[0，2]上有解，
即k=$\frac{{t}^{2}+4t+4}{1+t}$=$\frac{（t+1）^{2}+2（t+1）+1}{t+1}$=t+1+$\frac{1}{t+1}$+2，
设m=t+1，则m∈[1，3]，
则k=m+$\frac{1}{m}$+2，
则k=m+$\frac{1}{m}$+2在m∈[1，3]上递增，
则当m=1时，k=1+1+2=4，当m=3时，k=3+$\frac{1}{3}$+2=$\frac{16}{3}$，
∴4≤m+$\frac{2}{m}$+2≤$\frac{16}{3}$，
即4≤k≤$\frac{16}{3}$，
即实数k的取值范围是4≤k≤$\frac{16}{3}$；
（3）若H（x）=$\frac{g（x）}{{g（x）+\sqrt{2}}}$，
则H（x）=$\frac{g（x）}{{g（x）+\sqrt{2}}}$=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$，
则H（x）+H（1-x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$+$\frac{{2}^{1-x}}{{2}^{1-x}+\sqrt{2}}$=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$+$\frac{2}{2+\sqrt{2}•{2}^{x}}$=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$+$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+{2}^{x}}$=1，
设H（$\frac{1}{2016}$）+H（$\frac{2}{2016}$）+H（$\frac{3}{2016}$）+…+H（$\frac{2015}{2016}$）=S，
H（$\frac{2015}{2016}$）+H（$\frac{2014}{2016}$）+…H（$\frac{2}{2016}$）+H（$\frac{1}{2016}$）=S，
两式相加得2015[H（$\frac{1}{2016}$）+H（$\frac{2015}{2016}$）]=2S，
即2S=2015，
则S=$\frac{2015}{2}$．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的解析式，分别利用换元法，转化法以及倒序相加法将函数进行化简是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．