Question

（1）S_n为等差数列{a_n}的前n项和，S₂=S₆，a₄=1，求a₅．
（2）在等比数列{a_n}中，a₁a₃=36，a₂+a₄=60，S_n＞400，求n的范围．

Answer 1

分析：（1）设等差数列的公差为d，利用等差数列的前n项和公式化简S₂=S₆，整理后得到a₁与d的方程，记作①，再利用等差数列的通项公式化简a₄=1，整理后得到a₁与d的方程，记作②，联立①②可求出a₁和d的值，利用等差数列的通项公式即可求出a₅的值．
（2）由等比数列的性质可得，a₁a₃=a₂²=36，a₂+a₄=a₂（1+q²）=60，从而可求a₂及公比q，然后把q得值代入到S_n＞400进行求解，即可得到满足题意的n的范围．

解答：解：（1）设等差数列的公差为d，
∵S₂=S₆，且S₂=2a₁+d，S₆=6a₁+15d，
∴2a₁+d=6a₁+15d，即4a₁+14d=0①，
又a₄=a₁+3d=1②，
联立①②解得：a₁=7，d=-2，
则a₅=a₁+4d=-1；
（2）由等比数列的性质可得，a₁a₃=a₂²=36，
又a₂+a₄=a₂（1+q²）=60，
∴a₂＞0，a₂=6，
∴1+q²=10，解得：q=±3，
当q=3时，a1=2，Sn=

2(1-3n)

1-3

＞400，3n＞401，n≥6，n∈N；
当q=-3时，a1=-2，Sn=

-2[1-(-3)n]

1-(-3)

＞400，(-3)n＞801，n≥8，n为偶数；
∴n≥8，且n为偶数．

点评：此题考查了等差数列的通项公式、求和公式，以及等比数列的性质，求和公式，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．