Question

如图，在三棱锥D-ABC中，已知BC丄AD，BC=2，AD=6，AB+BD=AC+CD=10，则三棱锥D一ABC的体积的最大值是

 

．

Answer 1

分析：过BC作与AD垂直的平面，交AD于E，过E作BC的垂线，垂足为F，则V=

1

3

S_△BCE×AD，进而可分析出当BE取最大值时，EF取最大值时，三棱锥D-ABC的体积也取最大值，利用椭圆的几何意义及勾股定理，求出EF的最大值，可得答案．

解答：解：过BC作与AD垂直的平面，交AD于E
过E作BC的垂线，垂足为F，如图所示：

∵BC=2，AD=6，
则三棱锥D-ABC体积V=

1

3

S_△BCE×（AE+DE）=V=

1

3

S_△BCE×AD=

1

3

×

1

2

•BC•EF×AD=2EF
故EF取最大值时，三棱锥D-ABC的体积也取最大值
即BE取最大值时，三棱锥D-ABC的体积也取最大值
在△ABD中，动点B到A，D两点的距离和为10，
故B在以AD为焦点的椭圆上，
此时a=5，c=3，故BE的最大值为b=

a2-c2

=4
此时EF=

BE2-( BC 2 )2

=

15

故三棱锥D一ABC的体积的最大值是2

15

故答案为：2

15

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，其中将求棱锥体积的最大值，转化为求椭圆上动点到长轴的距离最远是解答的关键．