Question

设F₁、F₂分别为双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的左右焦点，A为双曲线的左顶点，以F₁F₂为直径的圆交双曲线某条渐近线于M、N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求出M，N的坐标，再利用余弦定理，求出a，c之间的关系，即可得出双曲线的离心率．

解答： 解：设以F₁F₂为直径的圆与渐近线y=

b

a

x相交与点M的坐标为（x₀，y₀）（x₀＞0），
根据对称性得N点的坐标为（-x₀，-y₀），
∴

y0= b a x0 x02+y02=c2

；
解得M（a，b），N（-a，-b）；
又∵A（-a，0），且∠MAN=120°，
∴由余弦定理得4c²=（a+a）²+b²+b²-2

(a+a)2+b2

•bcos 120°，
化简得7a²=3c²，
∴e=

c

a

=

21

3

．
故答案为：

21

3

．

点评：本题考查了双曲线的标准方程与几何性质的应用问题，解题时应熟记它的几何性质是什么，属于基础题．