Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，对于任意的p，q∈N^*，有a_p+q=a_p+a_q
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：求数列{b_n}的通项公式；
（3）设C_n=3ⁿ+λb_n（n∈N^*），是否存在实数λ，当n∈N^*时，C_n+1＞C_n恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）取p=n，q=1，则a_n+1=a_n+a₁=a_n+2
∴a_n+1-a_n=2（n∈N^*）
∴{a_n}是公差为2，首项为2的等差数列
∴a_n=2n（4分）
（2）∵①
∴②
①-②得：b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）（n≥2）
当n=1时，∴b₁=6满足上式
∴b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）（n∈N^*）（9分）
（3）C_n=3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）•λ
假设存在λ，使C_n+1＞C_n（n∈N^*）3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）•λ＞3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）•λ[（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）-（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）]•λ＞3ⁿ-3ⁿ⁺¹=-2•3ⁿ（-1）ⁿ（3•2ⁿ⁺¹+4）•λ＞-2•3ⁿ
当n为正偶函数时，（3•2ⁿ⁺¹+4）λ＞-2•3ⁿ恒成立
当n=2时
∴
当n为正奇数时，-（3•2ⁿ⁺¹+4）•λ＞-2•3ⁿ恒成立
∴
当n=1时
∴
综上，存在实数λ，且（16分）
分析：（1）取p=n，q=1，则a_n+1=a_n+a₁=a_n+2，所以a_n+1-a_n=2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由，知，所以b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2），由此能够得到b_n．
（3）C_n=3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）•λ．假设存在λ，使C_n+1＞C_n（n∈N^*）3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）•λ＞3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）•λ[（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）-（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）]•λ＞3ⁿ-3ⁿ⁺¹=-2•3ⁿ（-1）ⁿ（3•2ⁿ⁺¹+4）•λ＞-2•3ⁿ．再由n的奇偶性进行分类讨论知存在实数λ，且．
点评：本题考查不等式的性质和应用，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．