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已知双曲线C1:x2-y2=m(m>0)与椭圆C2
x2
a2
+
y2
b2
=1
有公共焦点F1F2,点N(
2
,1)
是它们的一个公共点.
(1)求C1,C2的方程;
(2)过点F2且互相垂直的直线l1,l2与圆M:x2+(y+1)2=4分别相交于点A,B和C,D,求|AB|+|CD|的最大值,并求此时直线l1的方程.
分析:(1)把点N(
2
,1)
代入双曲线C1:x2-y2=m(m>0),求得m的值,求得椭圆的焦点,把点N(
2
,1)
代入椭圆C2
x2
a2
+
y2
b2
=1
,解方程组即可求得C1,C2的方程;
(2)根据直线l1,l2与圆相交,由垂径定理可得四边形MEF2F是矩形(其中M是圆的圆心),设圆M的圆心为M,l1、l2被圆M所截得弦的中点分别为E,F,弦长分别为d1,d2,利用勾股定理可得ME2+MF2=F2M2=3,利用基本不等式即可求得|AB|+|CD|的最大值,和此时直线l1的方程.
解答:解:(1)点N(
2
,1)是双曲线C1:x2-y2=m(m>0)上的点,∴m=(
2
2-1=1.
∴双曲线C1:x2-y2=1,从而F1(-
2
,0),F2
2
,0),∴a2>b2,且a2-b2=2.①
又点N(
2
,1)在椭圆上,则
2
a2
+
1
b2
=1

由①②得a2=4,b2=2,所以椭圆的方程为
x2
4
+
y2
2
=1

(2)设圆M的圆心为M,l1、l2被圆M所截得弦的中点分别为E,F,弦长分别为d1,d2,因为四边形MEF2F是矩形,
所以ME2+MF2=F2M2=3,即[4-(
d1
2
2]+[4-(
d2
2
2]=3,
化简得d12+d22=20
从而d1+d2
2
d
2
1
+
d
2
2
=2
10
,等号成立?d1=d2=
10

d1=d2=
10
时,∴(d1+d2max=2
10

即l1、l2被圆C所截得弦长之和的最大值为2
10

设直线l1的方程为y=k(x-
2

圆心M到直线l1为的距离
3
2

|
2
k-1|
1+k2
=
3
2
,解得k=4
2
±
33

∴直线l1的方程为y=4
2
±
33
(x-
2
).
点评:此题是个难题.本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程及简单的几何性质、直线与圆的位置关系,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知双曲线C1x2-
y2
4
=1
,双曲线C2与双曲线C1有相同的渐近线且经过点(
3
,2)

(1)求双曲线C2的标准方程;
(2)若直线y=x-1与双曲线C2的两渐近线相交于A,B,求
OA
OB
的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知双曲线C1x2-
y2
3
=1
,若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点F到双曲线C1的渐近线的距离为
3

求:(1)C2方程.
(2)若直线y=kx+b经过点F,且与曲线C1仅有一个公共点,求直线y=kx+b的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•上海)已知双曲线C1x2-
y2
4
=1

(1)求与双曲线C1有相同焦点,且过点P(4,
3
)的双曲线C2的标准方程;
(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点.当
OA
OB
=3
时,求实数m的值.

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科目:高中数学 来源:2010年高考数学热点题型4:解析几何(解析版) 题型:解答题

已知双曲线C1:x2-y2=m(m>0)与椭圆有公共焦点F1F2,点是它们的一个公共点.
(1)求C1,C2的方程;
(2)过点F2且互相垂直的直线l1,l2与圆M:x2+(y+1)2=4分别相交于点A,B和C,D,求|AB|+|CD|的最大值,并求此时直线l1的方程.

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