Question

（2012•上海）已知双曲线C₁：x2-

y2

4

=1．
（1）求与双曲线C₁有相同焦点，且过点P（4，

3

）的双曲线C₂的标准方程；
（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C₁的两条渐近线于A、B两点．当

OA

•

OB

=3时，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）先确定双曲线C₁：x2-

y2

4

=1的焦点坐标，根据双曲线C₂与双曲线C₁有相同焦点，且过点P（4，

3

），建立方程组，从而可求双曲线C₂的标准方程；
（2）直线方程与双曲线C₁的两条渐近线联立，求出A、B两点的坐标用坐标，利用数量积，即可求得实数m的值．

解答：解：（1）∵双曲线C₁：x2-

y2

4

=1，
∴焦点坐标为（

5

，0），（-

5

，0）
设双曲线C₂的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
∵双曲线C₂与双曲线C₁有相同焦点，且过点P（4，

3

）
∴

a2+b2=5 16 a2 - 3 b2 =1

，解得

a=2 b=1

∴双曲线C₂的标准方程为

x2

4

-y2=1
（2）双曲线C₁的两条渐近线为y=2x，y=-2x
由

y=2x y=x+m

，可得x=m，y=2m，∴A（m，2m）
由

y=-2x y=x+m

，可得x=-

1

3

m，y=

2

3

m，∴B（-

1

3

m，

2

3

m）
∴

OA

•

OB

=-

1

3

m2+

4

3

m2=m2
∵

OA

•

OB

=3
∴m²=3
∴m=±

3

点评：本题考查双曲线的标准方程与几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量的数量积，联立方程组是关键．