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(2012•上海)已知等差数列{an}的首项及公差均为正数,令bn=
an
+
a2012-n
(n∈N*,n<2012)
.当bk是数列{bn}的最大项时,k=
1006
1006
分析:
an
=x
a2012-n
=y
,由bn=
an
+
a2012-n
(n∈N*,n<2012)
,根据基本不等式(x+y)2=x2+y2+2xy≤x2+y2+x2+y2=2(x2+y2),得bn2=(
an
+
a2012-n
2≤2(an+a2012-n)=2(2a1006)=4a1006,由此能求出结果.
解答:解:设
an
=x
a2012-n
=y

bn=
an
+
a2012-n
(n∈N*,n<2012)

∴根据基本不等式(x+y)2=x2+y2+2xy≤x2+y2+x2+y2=2(x2+y2),
得bn2=(
an
+
a2012-n
2≤2(an+a2012-n)=2(2a1006)=4a1006
当且仅当an=a2012-n时,bn取到最大值,
此时n=1006,所以k=1006.
故答案为:1006.
点评:本题考查数列与不等式的综合应用,具体涉及到等差数列的通项公式、基本不等式的性质等基本知识,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
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