Question

（2012•上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B(

1

2

，1)、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为

1

4

．

Answer 1

分析：先利用一次函数的解析式的求法，求得分段函数f（x）的函数解析式，进而求得函数y=xf（x）（0≤x≤1）的函数解析式，最后利用定积分的几何意义和微积分基本定理计算所求面积即可

解答：解：依题意，当0≤x≤

1

2

时，f（x）=2x，当

1

2

＜x≤1时，f（x）=-2x+2
∴f（x）=

2x       x∈[0， 1 2 ] -2x+2  x∈( 1 2 ，1]

∴y=xf（x）=

2x 2      x∈[0， 1 2 ] -2x 2+2x  x∈( 1 2 ，1]

y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S=

∫

1 2 0

2x2dx+

∫

1 1 2

(- 2x2+2x) dx=

2

3

x³

|

1 2 0

+（-

2

3

x3+x²）

|

1 1 2

=

1

12

+

1

6

=

1

4

故答案为

1

4

点评：本题主要考查了分段函数解析式的求法，定积分的几何意义，利用微积分基本定理和运算性质计算定积分的方法，属基础题