Question

（2012•江苏三模）在一个半径为1的半球材料中截取三个高度均为h的圆柱，其轴截面如图所示，设三个圆柱体积之和为V=f（h）．
（1）求f（h）的表达式，并写出h的取值范围是；
（2）求三个圆柱体积之和V的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据根据球的截面圆性质，得自下而上三个圆柱的底面半径r₁、r₂、r₃关于h的函数关系式，再结合圆柱的体积公式，可得三个圆柱体积之和为V=f（h）的表达式．根据三个圆柱高度之积小于球半径，得到h的取值范围．
（2）利用导数工具，研究f（h）的单调性，可得f（h）在(0，  

14

14

)上为增函数，在(

14

14

，  

1

3

)上为减函数，从而得到f（h）的最大值为f(

14

14

)=

14 π

7

．

解答：解：（1）设自下而上三个圆柱的底面半径分别为r₁、r₂、r₃，
根据球的截面圆性质，可得r1=

1-h2

，
r2=

1-(2h)2

=

1-4h2

，r3=

1-(3h)2

=

1-9h2

． …（3分）
它们的高均为h，所以体积和等于
V=f(h)=π

r

2 1

h+π

r

2 2

h+π

r

2 3

h
=π[（1-h²）+（1-4h²）+（1-9h²）]h=π（3h-14h³）（6分）
因为三个圆柱高度之积小于球半径，所以0＜3h＜1，得h的取值范围是(0，  

1

3

)；  …（7分）
（2）由f（h）=π（3h-14h³）得f'（h）=π（3-42h²）=3π（1-14h²），…（9分）
又∵h∈(0，  

1

3

)，
∴h∈(0，  

14

14

)时，f'（h）＞0；h∈(

14

14

，  

1

3

)时，f'（h）＞0．（11分）
可得f（h）在(0，  

14

14

)上为增函数，在(

14

14

，  

1

3

)上为减函数，
因此，当h=

14

14

时，f（h）取最大值，这个最大值为f(

14

14

)=

14 π

7

．  …（13分）
答：三个圆柱体积和V的最大值为

14 π

7

． …（14分）

点评：本题以导数为工具，求三个圆柱体积之和的最大值，着重考查了球的截面圆性质、圆柱体积公式和利用导数研究函数单调性等知识，属于中档题．