Question

已知数列{b_n}满足b_n+1=

1

2

bn+

1

4

，且b₁=

7

2

，T_n为{b_n}的前n项和．
（Ⅰ）求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）如果对任意n∈N^*，不等式

12k

12+n-2Tn

≥2n-7恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据题意，将已知等式变形可得b_n+1-

1

2

=

1

2

（b_n-

1

2

），从而得到{b_n-

1

2

}成首项b₁-

1

2

=3，公比为q=

1

2

的等比数列，结合等比数列的通项公式即可算出{b_n}的通项公式；
（II）由等比数列的求和公式，算出T_n=6（1-

1

2n

）+

n

2

，因此将

12k

12+n-2Tn

≥2n-7等价变形为k≥

2n-7

2n

，欲使该不等式对任意n∈N^*恒成立，则k≥（

2n-7

2n

）_max．设c_n=

2n-7

2n

，研究c_n+1-c_n可得当n≥5时c_n+1＜c_n，{c_n}为单调递减数列；当1≤n＜5时，{c_n}为单调递增数列，由此算出c_n的最大值是c₅=

3

32

，从而得到满足不等式恒成立的实数k的范围为[

3

32

，+∞）．

解答：解：（Ⅰ） 对任意n∈N^*，都有b_n+1=

1

2

bn+

1

4

，
两边都减去

1

2

，得b_n+1-

1

2

=

1

2

bn-

1

4

，即b_n+1-

1

2

=

1

2

（b_n-

1

2

）
∴数列{b_n-

1

2

}成等比数列，首项为b₁-

1

2

=3，公比为q=

1

2

              …（3分）
因此，b_n-

1

2

=3×（

1

2

）^n-1，可得b_n=3×（

1

2

）^n-1+

1

2

                  …（5分）
（Ⅱ）∵b_n=3×（

1

2

）^n-1+

1

2

 
∴T_n=3（1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

）+

1

2

×n=

3(1- 1 2n )

1- 1 2

+

n

2

=6（1-

1

2n

）+

n

2

      …（8分）
又∵不等式

12k

12+n-2Tn

≥2n-7恒成立，
∴将T_n表达式代入，化简得k≥

2n-7

2n

对任意n∈N^*恒成立…（9分）
设c_n=

2n-7

2n

，则c_n+1-c_n=

2(n+1)-7

2n+1

-

2n-7

2n

=

9-2n

2n+1

             …（11分）
当n≥5时c_n+1-c_n＜0，得c_n+1＜c_n，{c_n}为单调递减数列；
当1≤n＜5时c_n+1-c_n＞0，得c_n+1＞c_n，{c_n}为单调递增数列
∵c₄=

1

16

，c₅=

3

32

，得c₄＜c₅
∴当n=5时，c_n取得最大值

3

32

                   …（13分）
所以，要使k≥

2n-7

2n

对任意n∈N^*恒成立，k≥

3

32

即满足不等式

12k

12+n-2Tn

≥2n-7对任意n∈N^*恒成立的k的取值范围为[

3

32

，+∞）．      …（14分）

点评：本题给出与等比数列有关的一个数列，求它的通项公式并研究不等式恒成立问题．着重考查了等比数列的通项与求和、数列的单调性研究和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．