Question

函数f（x）对任意的实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0，f（x）＜0．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；
（3）若y=f（ax²-a²x）-f[（a+1）（x-1）]在x∈（0，2）上有零点，求a的范围．

Answer 1

分析：（1）令y=x=0，可得f（0）=0，令y=-x，可得f（x）+f（-x）=0，进而根据奇偶性定义可得答案；
（2）任意的x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，设x₂=x₁+t，t＞0，结合f（x+y）=f（x）+f（y），及x＞0，f（x）＜0可判断f（x₁）-f（x₂）的符号，进而根据单调性的定义得到结论
（3）当y=f（ax²-a²x）-f[（a+1）（x-1）]在x∈（0，2）上有零点，则方程f（ax²-a²x）=f[（a+1）（x-1）]有根，根据（2）的结论可得ax²-a²x=（a+1）（x-1）有根．分类讨论后可得答案．

解答：解：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y），
令y=x=0
则f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0
令y=-x
则f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（x）为奇函数…（3分）
证明：（2）任意的x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，设x₂=x₁+t，t＞0
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₁+t）=f（x₁）-f（x₁）-f（t）=-f（t）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在R上是减函数…（2分）
解：（3）∵y=f（ax²-a²x）-f[（a+1）（x-1）]=0
∴f（ax²-a²x）=f[（a+1）（x-1）]
即ax²-a²x=（a+1）（x-1）
∴ax²-（a²+a+1）x+a+1=（ax-1）[x-（a+1）]=0…（1分）
①a=0时，x=1∈（0，2）符合…（1分）
②a≠0时，则

1

a

∈（0，2）或a+1∈（0，2）
∴a≥

1

2

或-1＜a＜1且a≠0…（2分）
综上a∈（-1，+∞）…（1分）

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的零点，其中“凑”的思想是解决抽象函数的关键，而（3）的关键是借助（2）的结论，脱却函数符号，构造方程ax²-a²x=（a+1）（x-1）有根．