Question

（2008•扬州二模）已知函数f（x）=ax²+2bx+4c（a，b，c∈R，a≠0）
（1）函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，求证：4b²-16ac＜-1
（2）若a＞0，b＞0，且|f（0）|=|f（1）|=|f（-1）|=1试求f（x）的解析式；
（3）若c=

3

4

，对任意的x∈R，b∈[0，2]不等式f（x）≥x+b恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，利用判别式小于0建立不等式，从而证得4b²-16ac＜-1；
（2）根据|f（0）|=|f（1）|=|f（-1）|=1建立等式，结合a＞0，b＞0，可求出a，b，c的值，从而求出函数解析式；
（3）由f（x）≥x+b恒成立，即：ax²+（2b-1）x+3-b≥0对x∈R恒成立，利用参变量分离法进行求解即可．

解答：解：（1）函数f（x）与直线y=x无公共点，即ax²+2bx+4c=x无实数解，
故△=（2b-1）²-16ac＜0，即4b²-4b+1-16ac＜0，
同理，函数f（x）与直线y=-x无公共点，即ax²+2bx+4c=-x无实数解，即b²+4b+1-16ac＜0
两式相加 得8b²+2-32ac＜0，即 4b²-16ac＜-1
（2）由|f（0）|=|f（1）|=|f（-1）|=1，
则|f（0）|=|4c|=1，|a+2b+4c|=|a-2b+4c|，
∴（a+2b+4c）²=（a-2b+4c）²
∴b（a+4c）=0，∵b＞0，∴a+4c=0，
又∵a＞0，|4c|=1，∴a=1，c=-

1

4

，从而b=

1

2

，
∴f（x）=x²+x-1
（3）c=

3

4

，则f（x）=ax²+2bx+3，由f（x）≥x+b恒成立，即：ax²+（2b-1）x+3-b≥0对x∈R恒成立，
所以

a＞0 △=(2b-1)2-4a(3-b)≤0(*)

，由（*）式 4b²-4b+1≤4a（3-b）对b∈[0，2]恒成立，
∴4a≥

4b2-4b+1

3-b

，设g(b)=

4b2-4b+1

3-b

，则只需4a≥g（b）_max
∵g(b)=4(3-b)+

25

3-b

-20，当b=2时g（b）_max=9
∴4a≥9又a＞0，即a的取值范围是[

9

4

，+∞)．

点评：本题主要考查了二次函数的性质，以及恒成立问题和求函数解析式，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．