Question

如放置在水平面上的组合体由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁与正三棱锥B-ACD组成，其中，AB⊥BC，且AB=BC=

2

，AA₁=2．E为BB₁的中点．
（1）求证：AC₁⊥平面A₁EC；
（2）求二面角D-AC-E的余弦；
（3）求直线A₁C与平面ACD所成角的正弦．

Answer 1

分析：（1）要证AC₁⊥平面A₁EC，首先想到ACC₁A₁为正方形，AC₁⊥A₁C，再根据题中三棱柱的结构，考虑证明AC₁⊥CE为宜．而BC₁为AC₁在面BC₁中的射影，可以利用三垂线定理证出AC₁⊥CE，从而证得AC₁⊥平面A₁EC．
（2）取AC中点F，∠DFE为所求，在△DFE中求解．
（3）设θ为所求的线面角，求出A₁到面ACD的距离d，利用sinθ=

d

CA1

求解．

解答：解：（1）连接BC₁，∵AB⊥BC，AB⊥BB₁，BC∩BB₁=B，∴AB⊥面BC₁，
BC₁为AC₁在面BC₁中的射影，
∵tan∠BCE=

BE

BC

=

1

2

=tan∠BC₁C，∴∠BCE=∠BC₁C，又∠BC₁C+∠CBC₁=90°，
∴CE⊥BC₁，∴AC₁⊥CE（三垂线定理），又ACC₁A₁为正方形，∴AC₁⊥A₁C，∴AC₁⊥面⊥A₁EC．
（2）取AC中点F，由已知，△ADC为正三角形，△EAC为等腰三角形，∴DF⊥AC，EF⊥AC，则∠DFE为所求．
∵AE=

3

，CE=AE=

3

，AC=2

2

，∴EF=1，又DF=

3

2

×AC=

6

，DE=

2

+1，
在△DFE中由余弦定理得cos∠DFE=

2- 2

6

=

6 - 3

3

∴∠DFE=arccos

6 - 3

3

  （3）设θ为所求的线面角，∵DB∥面 ACA₁，D到 面 ACA₁ 的 距离为B 到 面 ACA₁ 的 距离，即为1
△ACD为正三角形，边长为2，S_△ACD=

3

4

×22=

3

，S_△ACA1=2，∴由V _A1-ACD=V _D-A1AC可得

1

3

×

3

×d=

1

3

×2×1，A₁到面ACD的距离d=

2 3

3

，
∴sinθ=

2 3 3

CA1

=

6

6

，所求角为arcsin

6

6

．

点评：本题注意考查了空间直线和直线、直线和平面、垂直的判定与性质，空间角求解，充分体现了空间向平面转化的解决方法．