Question

如图所示，放置在水平面上的组合体由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁与正三棱锥B-ACD组成，其中，AB⊥BC，AB=，BB₁=2．
（1）求直线CA₁与平面ACD所成角的正弦值；
（2）在线段AC₁上是否存在点P，使B₁P⊥平面ACD？若存在，确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）以点B为原点，分别以BC、BB₁、BA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACD的法向量，进而可利用夹角公式求出直线CA₁与平面ACD所成角的正弦；
（2）假设存在，令=m=（m，2m，-m），利用，即可得到结论．
解答：解：（1）由题意，AB⊥平面BB₁C₁C，CD?平面BB₁C₁C，
∴D，B，B₁三点共线，
∵三棱锥是正三棱锥，
∴AB=BC=BD，
以点B为坐标原点，射线BC，BB₁，BA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，），C（，0，0），D（0，-，0），B₁（0，2，0），C₁（，2，0），A₁（0，2，）
设直线CA₁与平面ACD所成角为θ
∵△ACD的重心G（），∴=（），
∴取=（1，-1，1）为平面ACD的法向量
∵=（-，2，），
∴取=为直线CA₁的方向向量
∴sinθ=|cos＜＞|===；
（2）令=m=（m，2m，-m），
则=
∵，∴
∴，无解
∴不存在满足条件的点P．
点评：本题以组合体为载体，考查线面角，考查线面垂直，关键是构建空间直角坐标系．