Question

已知公差大于零的等差数列{a_n}，前n项和为S_n．且满足a₃a₄=117，a₂+a₅=22．
（Ⅰ）求数列a_n的通项公式；
（2）若bn=

Sn

n- 1 2

，求f（n）=

bn

(n+36)bn+1

（n∈N^*）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由等差数列的性质可得a₃，a₄的和与积，可解a₃，a₄的值，进而可求通项；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求S_n，进而可得b_n和f（n），下面由基本不等式可得最值．

解答：解：（Ⅰ）因为{a_n}是等差数列，所以a₃+a₄=a₂+a₅=22又a₃•a₄=117
所以a₃，a₄是方程x²-22x+117=0的两根．又d＞0，所以a₃＜a₄．
所a₃=9，a₄=13，d=4，故a₁=1，a_n=4n-3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S_n=

n(1+4n-3)

2

=2n²-n，故bn=

2n2-n

n- 1 2

=2n，
所以f（n）=

bn

(n+36)bn+1

=

n

n2+37n+36

=

1

n+ 36 n +37

≤

1

2 36 +37

=

1

49

．
当且仅当n=

36

n

，即n=6时，f（n）取得最大值

1

49

．

点评：本题为等差等比数列的综合应用，涉及基本不等式求最值，属基础题．