Question

已知公差大于零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₃•a₄=117，a₂+a₅=22，
（1）求通项a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=

Sn

n+c

，是否存在非零实数c，使得{b_n}为等差数列？若存在，求出c的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列的性质，得出a₃、a₄是方程x²-22x+117=0的解，解此方程得a₃=9且a₄=13，再求出{a_n}的首项和公差，即可得到数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）的结论，化简得b_n=

2n2-n

n+c

．分别令n=1、2、3，得到{b_n}的前3项，由2b₂=b₁+b₃解出c=-

1

2

，再将c=-

1

2

回代加以检验，即可得到当c=-

1

2

时，{b_n}成以2为首项、公差为2的等差数列．

解答：解：（1）由等差数列的性质，得a₃+a₄=a₂+a₅=22，
又∵a₃•a₄=117，∴a₃、a₄是方程x²-22x+117=0的解，
结合公差大于零，解得a₃=9，a₄=13，
∴公差d=a₄-a₃=13-9=4，首项a₁=a₃-2d=1．
因此，数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=1+4（n-1）=4n-3．
（2）由（1）知：S_n=

n(1+4n-3)

2

=2n²-n，
所以b_n=

S n

n+c

=

2n2-n

n+c

．
故b₁=

1

c+1

，b₂=

6

c+2

，b₃=

15

c+3

．
令2b₂=b₁+b₃，即

12

c+2

=

1

c+1

+

15

c+3

，化简得2c²+c=0．
因为c≠0，故c=-

1

2

，此时b_n=

2n2-n

n- 1 2

=2n．
当n≥2时，b_n-b_n-1=2n-2（n-1）=2，符合等差数列的定义
∴c=-

1

2

时，b_n=2n．（n∈N₊）
由此可得，当c=-

1

2

时，{b_n}成以2为首项、公差为2的等差数列．

点评：本题给出等差数列满足的条件，求数列{a_n}的通项公式，并依此讨论数列{b_n}能否成等差的问题．着重考查了等差数列的通项公式、求和公式和方程组的解法等知识，属于中档题．