Question

【题目】如图，菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，以对角线BD为折痕把△ABD折起，使点A到达如图所示点E的位置，使．

(1)求证：BD⊥EC；

(2)求三棱锥B-CE-D的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）二面角B-CE-D的余弦值为.

【解析】

（1）根据菱形的对角线相互垂直，得到CO⊥BD且AO⊥BD，所以BD⊥平面EOC，从而得证；

（2）先证明OB，OC，OE三者两两垂直，以O为坐标原点.OB，OC，OE所在直线分别x、y、z轴建立空间直角坐标系O – xyz，求出平面BCE与平面CDE的法向量，代入公式即可得到结果．

（1）在图1中，连接A、C，设AC与BD相交于点O，由四边形ABCD为菱形可知，所以，由图2可知

，

又，所以平面EOC，又平面EOC，所以.

（2）因为四边形ABCD为菱形且，所以为等边三角形

又，所以.所以.

又中，，所以，所以.

又，所以，因为，所以平面BDC，所以OB，OC，OE三者两两垂直.

以O为坐标原点.OB，OC，OE所在直线分别x、y、z轴建立空间直角坐标系O – xyz，

则，

.

设平面BCE的法向量为

由得所以

令得；

设平面CDE的法向量为，

由得所以令得；故，

由图可知二面角B-CE-D为锐角，所以二面角B-CE-D的余弦值为