Question

已知{a_n}是等比数列，公比q＞1，前n项和为
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数数{b_nb_n+1}的前n项和为T_n，求证．

Answer 1

【答案】分析：（I）由=建立关于a₁和q的方程，可解出q=2．从而得到数列{a_n}的首项a₁=，得{a_n}的通项公式为a_n=a₁q^n-1=2^n-2，由此结合题意和对数运算性质化简整理，可得b_n=；
（II）根据（I）的结论，得b_nb_n+1=（-），代入T_n消元化简得T_n=（1-），最后结合的取值范围，利用不等式的运算性质可证出不等式成立．
解答：解：（I）===，
∴整理得2q²-5q+2=0，解之得q=2（舍）
由此可得a₁==，得数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁q^n-1=2^n-2，
∴a_2n+1=2^2n-1，结合=2得b_n==；
可得{b_n}的通项公式为b_n=；
（II）根据（I）的结论，得
b_nb_n+1==（-）
可得T_n=[（1-）+（-）+…+（-）]=（1-）
∵n∈N^*，∴0＜≤，得≤1-＜1
因此，T_n=（1-）∈[，），
即不等式成立．
点评：本题给出等差、等比数列模型，求数列的通项并求讨论数列{b_nb_n+1}的前n和的取值范围，着重考查了等差数列的通项与前n项和、数列与不等式的综合等知识，属于中档题．