Question

（本题满分12分）如图所示，在棱长为4的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，点E是棱CC₁的中点。

 

（I）求三棱锥D₁—ACE的体积；

（II）求异面直线D₁E与AC所成角的余弦值；

（III）求二面角A—D₁E—C的正弦值。

 

Answer 1

【答案】

（I）；（II）（III）

【解析】

试题分析：（I）  …………3分

（II）取DD₁的中点F，连结FC，则D₁E//FC，

∴∠FCA即为异面直线D₁E与AC

所成角或其补角。 …………5分

∴异面直线D₁E与AC所成角的余弦值为…………7分

（III）过点D作DG⊥D₁E于点G，连接AG，由AD⊥面D₁DCC₁，

∴AD⊥D₁E

又∵DG⊥D₁E，∴D₁E⊥面ADG

∴D₁E⊥AG，则∠AGD为二面角A—D₁E—C的平面角  ……9分

∵D₁E·DG=DD₁·CD，

 ，

二面角A—D₁E—C的正弦值为…………12分

法二：（I）同法一   ………………3分

（II）以D为原点，分别以DA,DC,DD₁为ox,oy,oz轴建立空间直角坐标系。

（III）显然是平面D₁DCE的法向量，

设平面D₁AE的一个法向量为

二面角A—D₁E—C的正弦值为…………12分

考点：棱锥的体积公式；异面直线所成的角；二面角。

点评：求异面直线所成的角，解题的关键是：首先正确的建立空间直角坐标系，然后可将异面直线所成的角转化为所对应的向量的夹角或其补角；而对于利用向量法求线面角关键是正确求解平面的一个法向量。注意计算要仔细、认真。