Question

已知动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦MN的长为4．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）过点A（0，2）作一条直线与曲线C交于E，F两点，过E，F分别作曲线C的切线，两切线交于P点，当|PE|•|PF|最小时，求直线EF的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设圆心为C（x，y），线段MN的中点为E，依题意得|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，由此能求出动圆圆心的轨迹C的方程．
（2）设E（x1，

x12

4

），F（x2，

x22

4

），由A，E，F三点共线，得到x₁x₂=-8，由已知条件利用导数性质求出P点坐标为（

x1+x2

2

，-2），由此能求出|PE|•|OF|当且仅当x₂=-x₁时取最小值，从而能求出直线EF方程为y=2．

解答： 解：（1）设圆心为C（x，y），线段MN的中点为E，则|ME|=

|MN|

2

，
依题意得|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，
∴x²+（y-2）²=2²+y²，整理，得x²=4y，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为x²=4y．
（2）设E（x1，

x12

4

），F（x2，

x22

4

），
由A，E，F三点共线，得

x22 4 -2

x2

=

x12 4 -2

x1

，∴x₁x₂=-8，
由x²=4y，得y=

1

4

x2，∴y′=

1

2

x，
∴PE的方程为y=

x12

4

=

x1

2

(x-x1)，即y=

x1

2

x-

1

4

x12．
同理PF的方程为y=

x2

2

x-

1

4

x22，
解得P点坐标为（

x1+x2

2

，

x1x2

4

），即（

x1+x2

2

，-2），
∴|PE|=

1+ x12 4

•|

x1+x2

2

-x1|=

(x2-x1)• 4+x12

4

，
∴|PE|•|OF|=

(x2-x1)2• 16+4(x12+x22)+x12•x22

16

=

(x12+x22+16)• 16+4(x12+x22)+x12x22

16

=

(x12+x22+16)• 16+4(x12+x22)+64

16

=

(x12+x22+16)• 20+(x12+x22)

8

≥

(2|x1x2|+16)• 20+2|x1x2|

8

=24，
当且仅当x₂=-x₁时，上式取等号，
此时EF的斜率为0，所求直线EF方程为y=2．

点评：本题考查动圆圆心的轨迹方程的求法，考查考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．