Question

设数列{x_n}满足log_ax_n+1=1+log_ax_n（a＞0，a≠1），若x₁+x₂+…+x₁₀₀=100，则x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀=

 

．

Answer 1

分析：先根据递推公式和对数的运算性质，证明出数列是一个等比数列，再由等比数列的性质和数列前100项的和求出式子的值．

解答：解：∵log_ax_n+1=1+log_ax_n，∴log_ax_n+1-log_ax_n=1，
∴

log

xn+1 xn a

=1，则

xn+1

xn

=a，
∴数列{x_n}是以a为公比的等比数列，
∵x₁+x₂+…+x₁₀₀=100，∴x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀=a¹⁰⁰x₁+a¹⁰⁰x₂+…a¹⁰⁰x₁₀₀
=a¹⁰⁰（x₁+x₂+…+x₁₀₀）=100a¹⁰⁰，
故答案为：100a¹⁰⁰．

点评：本题考查了等比数列数列的性质，以及等比数列求和，利用对数的运算性质进行证明，一般来说只要数列求和，应先研究数列的性质再进行求和．