Question

已知函数f（x）=（x+1）ⁿ（n∈N^*），l是f（x）在点（1，f（1））处的切线，l与x轴的交点坐标为（x_n，0），
（1）若数列{a_n}满足a_n=（1-x_n）（1-x_n+1），求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）设b_k表示（x+1）ⁿ的二项展开式的第k+1项的二项式系数，求和

n

k=1

kbk．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f（1）=2ⁿ，利用导数的几何意义求得曲线在点（1，f（1））处的切线l斜率，可得切线l的方程，在切线方程中，令y=0可得l与x轴的交点的横坐标为x_n =1-

2

n

，可得 a_n=（1-x_n）（1-x_n+1）=4[

1

n

-

1

n+1

]，再用裂项法求得数列{a_n}的前n项和S_n 的值．
（2）求出 b_k=

C

k n

，可得

n

k=1

kbk=

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

．对于（1+x）ⁿ=

C

0 n

+

C

1 n

x+

C

2 n

x²+…+

C

n n

xⁿ，两边求导，再令x=1可得

n

k=1

kbk的值．

解答：解：（1）由题意可得f（1）=2ⁿ，因为f′（x）=n（x+1）^n-1，∴f′（1）=n•2^n-1．
∴在点（1，f（1））处的切线l斜率为f′（1）=n•2^n-1，故切线l的方程为 y-2ⁿ=n2^n-1（x-1），
令y=0可得l与x轴的交点的横坐标为x_n =1-

2

n

，∴1-x_n=

2

n

，故1-x_n+1 =

2

n+1

．
∴a_n=（1-x_n）（1-x_n+1）=

4

n(n+1)

=4[

1

n

-

1

n+1

]，
∴数列{a_n}的前n项和S_n=4[（1-

1

2

+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=4（1-

1

n+1

）=

4n

n+1

．
（2）由于 b_k表示（x+1）ⁿ的二项展开式的第k+1项的二项式系数，∴b_k=

C

k n

，

n

k=1

kbk=

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

．
对于（1+x）ⁿ=

C

0 n

+

C

1 n

x+

C

2 n

x²+…+

C

n n

xⁿ，两边求导，可得 n（1+x）^n-1=

C

1 n

+2

C

2 n

x+3

C

3 n

x²+…+n

C

n n

x^n-1．
再令x=1可得 n2^n-1=

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

．
∴

n

k=1

kbk=n•2^n-1．

点评：本题主要考查利用导数求曲线在某一点的切线方程，用裂项法进行数列求和，二项式定理的应用，属于中档题．