Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2 ，且AC，BD交于点O，E是PB上任意一点．

（1）求证：AC⊥DE
（2）已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值为 ，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC，

因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，

又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，

因为DE平面PBD，∴AC⊥DE．

（2）解：连接OE，在△PBD中，EO∥PD，

所以EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

设PD=t，则A（1，0，0），B（0， ，0），C（﹣1，0，0），

E（0，0， ），P（0，﹣ ，t），

设平面PAB的一个法向量为 =（x，y，z），

则 ，令y=1，得 =（ ，1， ），

平面PBD的法向量 =（1，0，0），

因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为 ，

所以|cos＜ ， ＞|= = ，

所以t=2 或t=﹣2（ 舍）

P（0，﹣ ，2 ），E（0，0，1）， =（ ，1，1），

=（﹣1，0，﹣ ）

∴sinθ=| |= ，

∴EC与平面PAB所成角θ的正弦值为 ．

【解析】（1）由PD垂直面ABCD，可得PD⊥BD，根据底面ABCD为菱形，可得到AC⊥BD，即可得到AC⊥面PBD，从而得到AC⊥DE，（2）连接OE，在△PBD中，EO∥PD，所以EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用法向量法即可得出结果.
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．