Question

13．如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧$\widehat{AB}$的中点，E为劣弧$\widehat{CB}$的中点，已知PO=2，OA=1，
（1）求三棱锥P-AOC的体积；
（2）求异面直线PA和OE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由条件便知PO为三棱锥P-AOC的高，底面积S_△AOC又容易得到，从而带入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积．
（2）根据条件能够得到OE∥AC，从而找到异面直线PA，OE所成角为∠PAC，可取AC中点H，连接PH，便得到PH⊥AC，从而可在Rt△PAH中求出cos∠PAC．

解答 解：（1）∵PO=2，OA=1，OC⊥AB，
∴三棱锥P-AOC的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×2$=$\frac{1}{3}$；
（2）∵C为半圆弧$\widehat{AB}$的中点，E为劣弧$\widehat{CB}$的中点，
∴∠BOE=45°，又∠ACO=45°；
∴OE∥AC；
∴∠PAC便是异面直线PA和OE所成角；
在△ACP中，AC=$\sqrt{2}$，AP=CP=$\sqrt{5}$．
如图，取AC中点H，连接PH，则PH⊥AC，AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴在Rt△PAH中，cos∠PAH=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$；
∴异面直线PA与OE所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

点评 考查圆锥的定义，圆锥的高和母线，等弧所对的圆心角相等，能判断两直线平行，以及异面直线所成角的定义及找法、求法，属于中档题．