精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(本小题14分) 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)是定义在R上的奇函数,且x=-1时,函数取极值1。
(1)求a,b,c的值;
(2)若x1,x2∈[-1,1],求证:|f(x1)-f(x2)|≤2;
(3)求证:曲线y=f(x)上不存在两个不同的点A,B,使过A, B两点的切线都垂直于直线AB。
(1),b=0
(2)因为,那么可以运用函数单调性放缩来得到解决问题。
(3)对于探索性试题的分析,假设存在,然后根据过A,B两点的切线平行,得到斜率相等,同时根据过A,B两点的切线都垂直于直线AB
,则斜率之积为-1,得到方程,通过方程无解说明假设不成立,进而得到证明。

试题分析:(1)函数是定义在R上的奇函数,
对于恒成立,
∴b=0

∵x=-1时,函数取极值1,∴3a+c=0,-a-c=1
解得:
(2)
<0,∴

(3)设
过A,B两点的切线平行,
可得
,∴,则
由于过A点的切线垂直于直线AB,

∵△=-12<0
∴关于x1的方程无解。
∴曲线上不存在两个不同的点A,B,过A,B两点的切线都垂直于直线AB
点评:运用导数研究函数的问题主要涉及到了函数的单调性和函数的极值以及最值问题,那么同时要熟练的掌握导数的几何意义表示切线方程。而对于不等式的恒成立问题,一般将其转换为分离参数的思想来求解不等式的成立,主要是通过最值来完成证明,属于中档题。
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知 
⑴若的极值点,求实数值。
⑵若对都有成立,求实数的取值范围。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

设动直线与函数的图象分别交于点。则的最小值为(  )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知函数的图像在点处的切线的斜率为3,数列的前项和为,则的值为(      )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

曲线处切线的斜率是               .

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分14分)已知函数(其中e是自然对数的底数,k为正数)
(1)若处取得极值,且的一个零点,求k的值;
(2)若,求在区间上的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)讨论函数的单调区间和极值点;
(Ⅱ)若函数有极值点,记过点与原点的直线斜率为。是否存在使?若存在,求出值;若不存在,请说明理由。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

定义在上的可导函数满足:,则的解集为(  )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本题满分12分)
求下列函数的导数
(1)
(2)

查看答案和解析>>

同步练习册答案