Question

已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，∠ABC＝120°，又PC⊥平面ABCD，PC＝a，E是PA的中点．

(1)求证：平面EBD⊥平面ABCD；

(2)求直线PB与直线DE所成的角的余弦值；

(3)设二面角A－BE－D的平面角为，求的值．

Answer 1

答案：
解析：

由PC⊥平面ABCD，所以以C为原点，CA所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 　　∵ABCD的底面是边长为a的菱形，∠ABC＝120°， 　　PC＝a，E是PA的中点．所以 　　 　　P(0，0，a)，∵E是PA的中点，∴．－－－2分 　　(1)设AC和BD交于点Q，则Q(0，a，0)，∴＝(0，0，a，)， 　　＝2，PC⊥平面ABCD，∴QP⊥平面ABCD，平面EBD⊥平面ABCD；－－－4分 　　(2)∵·＝(–，，–a)·(–，0，，)＝－， 　　||＝，||＝， 　　∴cos＜，＞＝＝；－4分 　　(3)设平面ABE的法向量为p＝(x，y，z)，可得p＝(–，1，)， 　　又AC⊥BC，得AC⊥面BDE，又＝(0，a，0)， 　　∴取平面BDE的法向量q＝(0，，0)， 　　∴p·q＝，|p|＝，|q|＝， 　　∴cosq ＝．－－－4分